Phương pháp xét tính đúng sai của mệnh đề Toán 10

1. Tổng quan lý thuyết về mệnh đề

2.1. Định nghĩa

Theo khái niệm được học trong chương trình lớp 10, mệnh đề là câu khẳng định có thể xác định được tính đúng hoặc tính sai của nó.

Ví dụ về mệnh đề:

• “Số 165 chia hết cho 3” là một mệnh đề đúng.

• “Thành phố Tuyên Quang là thủ đô của nước Việt Nam” là một mệnh đề có tính sai.

• “Cô giáo của bạn tên là gì?” không phải là một mệnh đề dựa theo định nghĩa mệnh đề lớp 10 do câu hỏi không có tính đúng hoặc sai.

>>> Xem thêm: Lý thuyết và bài tập mệnh đề lớp 10

1.2. Các dạng mệnh đề thường gặp

Dạng 1: Dạng phủ định của mệnh đề

Phủ định của mệnh đề A là một mệnh đề có ký hiệu là A. Mệnh để A và A có những khẳng định trái ngược nhau như sau:

• Nếu A đúng thì A sai.

• Nếu A sai thì A đúng.

Không xảy ra trường hợp A và A cùng đúng hoặc cùng sai.

Ví dụ: Cho mệnh đề A: “2 là số chính phương” => Mệnh đề phủ định của mệnh đề A: “2 không phải là số chính phương”

Dạng 2: Mệnh đề kéo theo

Mệnh đề kéo theo là loại mệnh đề lớp 10 có dạng: “Nếu A thì B”, trong đó A và B là hai mệnh đề riêng biệt.

Mệnh đề kéo theo “Nếu A thì B” có ký hiệu là $ARightarrow B$.

Mệnh đề kéo theo có tính đúng sai như sau:

Mệnh đề $ARightarrow B$ chỉ sai nếu và chỉ nếu A đúng và B sai.

Ví dụ: Tam giác ABC vuông tại A nếu và chỉ nếu $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ là một mệnh đề đúng bởi vì nếu tam giác ABC vuông tại A thì ta mới có thể rút ra đẳng thức $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ theo định lý Pi-ta-go.

Dạng 3: Mệnh đề đảo Mệnh đề “$BRightarrow A$” được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề “$ARightarrow B$”

Ví dụ: Cho 2 mệnh đề A: “3 chia hết cho 2” và mệnh đề B:”4 là số chẵn”. Khi đó, $ARightarrow B$ được phát biểu là: “Nếu 3 chia hết cho 2 thì 4 là số chẵn”. Mệnh đề đảo của $ARightarrow B$ là mệnh đề $BRightarrow A$ phát biểu là: “Nếu 4 là số chẵn thì 3 chia hết cho 2”.

Đây là mệnh đề đảo sai bởi vì mệnh đề B đúng, mệnh đề A sai.

Dạng 4: Mệnh đề tương đương

Mệnh đề tương đương xuất hiện khi $PRightarrow Q$ là một mệnh đề đúng và $QRightarrow P$ cũng là mệnh đề đúng. Khi đó ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương, ký hiệu là AB, hay còn gọi là mệnh đề kéo theo hai chiều.

Ví dụ: Cho 2 mệnh đề A: “4 chia hết cho 2” và mệnh đề B: “4 là số chẵn”. Ta thấy mệnh đề A và B đều đúng, suy ra AB được phát biểu là: “4 chia hết cho 2 nếu và chỉ nếu 4 là số chẵn”

Đăng ký ngay khóa học DUO để được lên lộ trình ôn thi tốt nghiệp sớm nhất!

Dạng 5: Mệnh đề có chứa ký hiệu ∀, ∃

• Mệnh đề chứa ∀: Cho mệnh đề chứa biến A(x), trong đó x nhận giá trị từ tập xác định X bất kỳ. Với x bất kỳ thuộc tập X, ta có A(x) là mệnh đề đúng, ký hiệu là $forall xin X: A(x)$

• Mệnh đề chứa ∃: Cho mệnh đề chứa biến A(x), trong đó x nhận giá trị từ tập xác định X bất kỳ. Có ít nhất 1 giá trị $xin X$ (tồn tại $xin X$) thoả mãn A(x) là mệnh đề đúng, ký hiệu là $exists xin X:A(x)$

Ví dụ: Cho mệnh đề A: “$xin R:x^3=8” => A:"xin R:x^3neq 8$”

2. Hướng dẫn xét tính đúng sai của mệnh đề và bài tập luyện tập

2.1. Phương pháp giải

Để giải các bài tập dạng xét tính đúng sai của mệnh đề, các em học sinh lưu ý cách giải tùy theo từng trường hợp mệnh đề như sau:

• Đối với mệnh đề thường: Xác định giá trị đúng hoặc giá trị sai của mệnh đề đó.

• Đối với mệnh đề chứa biến P(x): Tìm tập hợp D các giá trị của biến x sao cho P(x) đúng hoặc sai.

Ví dụ 1: Trong các phương án dưới đây, đâu là mệnh đề, đâu không phải là mệnh đề? Chỉ ra tính đúng sai của mệnh đề đó.

A. $x^2+x+3>0$

B. $x^2+2y>0$

C. $xy$ và $x+y$

Hướng dẫn giải:

a) Mệnh đề đúng.

b) Chưa phải là mệnh đề do chưa xác định được tính đúng sai của nó (đây là mệnh đề chứa biến).

c) Đây không là câu khẳng định nên phương án này không phải là mệnh đề.

Ví dụ 2: Xác định tính đúng sai của mệnh đề dưới đây:

1) 22 là số nguyên tố.

2) Phương trình $x^2+1=0$ có 2 nghiệm thực phân biệt.

3) Mọi số nguyên lẻ đều không chia hết được cho 2.

4) Hình tứ giác có hai cạnh đối không bằng nhau và không song song thì không phải là hình bình hành.

Hướng dẫn giải:

1) Mệnh đề sai vì 21 không phải số nguyên tố mà là hợp số.

2) Phương trình $x^2+1=0$ vô nghiệm do phương trình luôn dương. Vậy mệnh đề trên sai.

3) Mệnh đề có tính đúng.

4) Hình tứ giác mà hai cạnh đối không song song hoặc không bằng nhau thì nó không phải là hình bình hành, từ đó suy ra mệnh đề sai.

Ví dụ 3: Trong các đáp án sau đây, đâu là mệnh đề và đâu không phải mệnh đề? Nếu là mệnh đề thì những đáp án đó thuộc loại mệnh đề gì? Xác định tính đúng sai của mệnh đề đó:

a) Nếu a chia hết được cho 6 thì a chắc chắn sẽ chia hết cho 2.

b) Nếu tam giác ABC đều thì tam giác ABC có CA = AB = BC.

c) 36 chia hết cho 28 nếu và chỉ nếu 36 chia hết cho 4 và 36 chia hết cho 7.

Hướng dẫn giải:

a) Đây là mệnh đề kéo theo (P ⇒ Q) và là mệnh đề mang tính đúng, phát biểu là:

P: "a chia hết cho 6" và Q: "a chia hết cho 2".

b) Đây là mệnh đề kéo theo (P ⇒ Q) và là mệnh đề mang tính đúng, phát biểu là:

P: "Tam giác ABC đều" và Q: "Tam giác ABC có CA = AB = BC"

c) Là mệnh đề tương đương (P⇔Q) và là mệnh đề sai, phát biểu là:

P: "36 chia hết cho 28" là mệnh đề sai

Q: "36 chia hết cho 4 và 36 chia hết cho 6" là mệnh đề đúng.

2.2. Bài tập xét tính đúng sai của mệnh đề

Để luyện tập nhiều hơn về dạng bài tập xét tính đúng sai của mệnh đề, cùng VUIHOC thực hành luyện tập với bộ 10 bài tập chọn lọc sau đây.

Câu 1: Cho mệnh đề chứa biến x P(x): “$3x+5x^2$” có x là số thực. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. P(3)

B. P(4)

C. P(1)

D. P(5)

Câu 2: Trong các đáp án dưới đây, mệnh đề nào là mệnh đề có tính đúng?

Câu 3: Chọn mệnh đề đúng trong các đáp án sau đây:

Câu 4: Trong các đáp án sau, câu nào chứa mệnh đề đúng?

Câu 5: Trong các đáp án dưới đây, mệnh đề nào có tính sai?

Câu 6: Chọn đáp án chứa mệnh đề đúng:

Câu 7: Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề dưới đây?

Câu 8: Chọn đáp án chứa mệnh đề đúng trong các câu sau đây:

Câu 9: Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu 10: Mệnh đề nào đúng trong các đáp án dưới đây?

Đáp án:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D B B A A A A B D

Bài viết trên đây đã tổng hợp cho các em toàn bộ kiến thức bao gồm lý thuyết và bài tập về dạng xét tính đúng sai của mệnh đề. Để đọc và học nhiều hơn về những kiến thức chương trình toán lớp 10, truy cập vuihoc.vn ngay từ hôm nay và đăng ký khoá học nhé!